Back

ⓘ Староегипатска математика. Ахмес, поред осталих 85, у свом папирусу износи следеће задатке. 1 Неко имање садржи седам зграда. У свакој од њих је седам мачака. С ..



                                     

ⓘ Староегипатска математика

Ахмес, поред осталих 85, у свом папирусу износи следеће задатке.

1 Неко имање садржи седам зграда. У свакој од њих је седам мачака. Свака од њих је појела по седам мишева, од којих је сваки појео седам зрна пшенице. А свако би зрно могло дати седам мерица жита. Колико би на имању било укупно зграда, мачака, мишева, зрна пшенице и мерица жита?

Исти проблем је решавао славни Фибоначи, али три хиљаде година касније. Следећи задатак нам показује да су стари Египћани познавали особине аритметичког низа.

2 Подели сто хлебова на петоро људи тако да количине које ће примити чине аритметички низ. Седмина збира три највећа оброка треба бити једнака збиру два најмања.

Начин решавања следећег задатка из тог папируса је изненадио преводиоце.

3 Ако збир непознатог броја неких ствари и њихове седмине износи 19, колики је број ствари?

Решења 1 7 зграда, 49 мачака, 343 мишева, 2401 зрна, 16807 мерица, што укупно износи 19607. 2 5/3, 65/6, 20, 175/6, 115/3. 3 Ми бисмо то данас записали једначином са једном непознатом x + x/7 = 19, резултат 133/8. Египћани би прво претпоставили да је решење нпр. број 7, седмина тога је 1, а решење које се тако добије је 8, дакле погрешно. Затим Ахмес подучава своје ученике да повећају неисправно претпостављени број за онолико колико износи размер траженог и добивеног броја у овом случају 19/8.

Занимљиво да је овај начин прорачунавања ушао поново у употребу појавом рачунара на крају 20. века. Решавање линеарних једначина на начин првог нагађања, а затим прецизне корекције решења, показао се у многим случајевима једноставнији од егзактних математичких метода.

                                     

1. Московски папирус

За разлику од Рајндовог папируса, аутор Московског папируса је непознат. Мало старији од Рајндовог, текст датира око 1850. п. н. е, а назива се и папирус Голенишчева, према руском истраживачу који га је открио средином 19. века и продао Музеју финих уметности у Москви С. Голешњиков је умро 1947. Као и Риндов, Московски папирус је написан курзивом и садржи решења математичких задатака у облику инструкција, без доказа. Дужине је око пола метра и ширине мало мање од 8 центиметара. Садржи 25 задатака, међу којима су и највећа достигнућа египатске геометрије.

                                     

1.1. Московски папирус Зарубљена пирамида

Египћани су познавали посебан случај Питагорине теореме, правоугли троугао са страницама дужина 3, 4 и 5, тзв. египатски троугао. Користили су конопац са једнако размакнутих 12 чворова за прављење правог угла, без којег је незамисливо грађевинарство. А њихова вештина градње је за нас још увек загонетна. У Московском папирусу се налази прорачун запремине правилне зарубљене четворостране пирамиде, не на начин како смо ми навикли, него описно, али сасвим тачно.

Према формули

V = 1 3 h b 1 2 + b 1 b 2 + b 2 {\displaystyle V={\frac {1}{3}}hb_{1}^{2}+b_{1}b_{2}+b_{2}^{2}}

добили бисмо

V = 1 3 ⋅ 6 ⋅ 2 + 2 ⋅ 4 + 4 2 = 56. {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot 6\cdot 2^{2}+2\cdot 4+4^{2}=56.}

Исти резултат, описно, је у папирусу:

                                     

1.2. Московски папирус Тумач

Примери староегипатских бројева 276 и 4622 лево, и разломака 1/3, 1/5 и 1/249 десно на следећој слици:

Систем хијератичких, курзивних бројева је једнако употребљаван. Истраживачи Египта су то сматрали лакшом верзијом хијероглифа:

На пример, овако би Египћани написали 2765 хијератичким симболима:

Или, исти број, истим писмом, обрнутим редоследом:

Попут хијероглифа, хијератичко писмо се мењало временом, током шест различитих периода. У почетку су оба начина била веома слична, али су се временом све више разликовали. Овде наведени хијератички симболи бројева датирају из 1800. п. н. е.

                                     

1.3. Московски папирус Геометрија

На једном зиду храма у Едфу остао је сачуван начин израчунавања површине трапезоида и то множењем полузбирова супротних страница. Формула није тачна, али грешка је мања од два посто.

Египћани су познавали трансцедентни број: π, однос обима и пречника круга, тј. пи. Њихов начин рачунања користи спорну "квадратуру круга". Квадрат странице a=16, има исту површину као и круг полупречника r=9, што би према данашњим формулама могли написати овако: r 2 π = a 2, {\displaystyle r^{2}\pi =a^{2},} одакле следи египатски "π" = 16/9 2, који приближно износи 3.16 а то је грешка мања од један посто!

Међутим, Египћани нас данас највише фасцинирају градњом Велике пирамиде и њеном геометријом, а затим храмовима за још неколико фараона. Савршено оријентисаних према странама света, два милиона камених блокова тешких до 54 тоне, чине Велику пирамиду у Гизи, с таквом прецизношћу да ни влас косе није могуће угурати између њих. Прави углови пирамиде су тачни до испод један посто, а странице дужине 230 метара у дужини се разликују за само 0.2 метра.

Најзанимљивији и по пропорцијама најсуптилнији египатски храм Велика пирамида је скициран десно. Доње испрекидане линије су ходници који крећу из Краљевске коморе ка звездама на слици, леви ка Сиријусу. Они са страницама пирамиде формирају правоугле троуглове. Катета, хипотенуза и њихов збир, десног од троуглова одговара трима узастопним члановима Фибоначијевог низа, карактеристичног за израчунавање прираста биљака или зечева. Узастопни чланови Фибоначијевог низа се такође могу користе за израчунавање златног пресека, нарочитог естетског односа у грађевинарству. То није случајно, јер је и у другим храмовима нарочито у Карнаку вођено рачуна о "златним пропорцијама". Осим тога и димензије Краљевске собе су у Фибоначијевом низу.

Египћани су много већу пажњу поклањали подизању храмова и светилишта, него кућа и предмета за свакодневну употребу. При томе су користили математичке каноне, тражећи склад између Универзума, Храма и Човека. Сасвим у том духу је један рељеф на храму Рамзеса Трећег: "Тај храм је као небо у свим пропорцијама".

Нажалост, немамо прави одговор на питање како су Египћани успели доћи до тако високих сазнања.



                                     

2. Види још

Математика

  • Однос обима и пречника круга
  • Геометрија
  • Круг
  • Пи
  • Рачун
  • Кружница

Историја

  • Античка Грчка
  • Феникија
  • Астеци
  • Вавилон
  • Античке земље и државе
  • Медија
  • Персијско царство
  • Антички Рим
  • Сумер
  • Стари Египат
  • Велике пирамиде
  • Слободно зидарство
  • Талес из Милета
  • Историја Африке
  • Ахмесов папирус
  • Маузолеј из Халикарнаса
  • Вавилонска кула
  • Херодот
Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →